☛ ** Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur

Énoncé
Dans un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)\), on considère une droite \(d\) d'équation \(2x-5y-3=0.\)Déterminer une équation de la droite \(d^{\prime}\) passant par le point \(\text A(-6;4)\) et parallèle à la droite \(d\).

Solution

D'après les coefficients de l'équation cartésienne de la droite \(d\), on peut affirmer que le vecteur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de cette droite.
Les droites \(d\) et \(d^{\prime}\) étant parallèles, le vecteur \(\overrightarrow{u}\) est également un vecteur directeur de la droite \(d^{\prime}\).
Soit \(\text M(x ; y)\) un point appartenant à la droite \(d^{\prime}\). Alors le vecteur \(\overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} x +6\\ y - 4\\ \end{pmatrix}\) est aussi un vecteur directeur de la droite \(d^{\prime}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AM}}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont donc colinéaires, ce qui se traduit par :
\(\left\lvert \begin{array}{cc} x+6 & 5 \\ y-4 & 2 \\ \end{array} \right\rvert = 0\) soit \((x+6) \times 2 - (y-4) \times 5 = 0\) soit \({2x-5y+32=0}\).

Une équation cartésienne de la droite \(d^{\prime}\) est donc \({2x-5y+32=0}\).